Трудовые отношения

Может. Трудовой Кодекс

Насколько прав работник или судить по интернету вообще-то сложновато. Надо разбиратся с документами.
Ответ будет общим:
1. Если договором (котрактом) предусмотрены конкретные сроки и размеры выплат - наниматель ОБЯЗАН их выполнять, отступление считается нарушением со стороны нанимателя. Равно это правило относится и к ситуации, если сроки и размеры установлены колдоговором или положением по з/п.
2. Отпускные выплачиваются ДО отпуска не менее чем за 2 дня. Задержка это уже нарушение.
3. Первых двух пунктов более чем достаточно для фиксирования нарушений, и на данном фоне больничный уже выглядит бледновато. Хотя выплата в сроки выплаты з/п вполне обоснована.
4. Ну сразу навскидку санкции - 3 месячный оклад + двух недельное пособие. В остальном надо изучать документы.

Право такое есть, конечно же.
Однако у нанимателя есть и обязанность предоставить рабочее место.

что означает "подменить отпуск"? можно пояснее?

1. могут
2. Могут, по решению социальной службы, где вы будете стоять на бирже труда
3. По месту жительства. В каждом районе есть служба занятости. Хоть на следующий день после увольнения.

Обращаться в суд с иском. Что же еще?

В соответствии с действующим законодательством не допускается занятие на условиях совместительства двух руководящих должностей в государственных организациях. Если медцентр - частная организация, данный запрет на Вас не распространяется.

К госслужащим Вы не относитесь, но являетесь государственным должностным лицом, поэтому Вас и обязали подписать соответствующий документ.

Статья 41 ТК предполагает такую возможность, НО! уважительность причин для расторжения оценивает наниматель. Т.е. конфликт возможен.
В принципе данный вопрос уже СТОЛЬКО раз обсуждался, посмотрите, хотябы здессь http://belpravo.by/vladimir-shaposhnikov/intervyu-na-temu-dosrochnoe-ras...

В Вашей ситуации важно знать, какой у Вас рабочий год (промежуток времени, равный по продолжительности календарному году, но исчисляемый для каждого работника со дня приема на работу).

Если в текущем рабочем году отпуск Вам не предоставлялся, то до увольнения Вы имеете право на трудовой отпуск обычной продолжительности.

Если же речь идет о денежной компенсации за неиспользованный в текущем рабочем году трудовой отпуск, то она исчисляется пропроционально отработанному в текущем рабочем году времени.

В Вашей ситуации нужно смотреть Ваш трудовой договор или контракт, чтобы определить, какой был установлен Вам режим работы и другие условия труда.

Если в трудовом договоре (контракте) указано, что Вы работаете к примеру  с понедельника по пятницу с 9.00 до 18.00, то изменение данных условий называется изменением существенных условий труда, а именно режима работы. В соответствии с Трудовым кодексом наниматель обязан предупредить работника об изменении существенных условий труда письменно не позднее чем за один месяц.

Но повторюсь еще раз, чтобы дать более полный ответ, нужно видеть Ваш трудовой договор или контракт. 

При производственной необходимости, на срок не более 1 месяца

Да, вполне себе грамотно.

Трудовой отпуск работника может быть продлен только в случае временной нетрудоспособности в связи с заболеванием или травмой самого работника.

Трудовой отпуск в связи с временной нетрудоспособностью по уходу за ребенком во время трудового отпуска не продлевается.

Вместе с тем трудовой отпуск может быть продлен с согласия сторон либо в случаях, предусмотренных в коллективном договоре. Поговорите с нанимателем по данному вопросу, почитайте коллективный договор, может, в нем есть соответствующие положения о продлении отпуска.

Ругатся с нанимателем, бомбить его заявлениями, обращаться в комиссию по трудовым спорам. У вас (теоретически) таковая должна быть. Если нет - можете обратиться в суд

Уже давно нужно было обращаться в суд. 

Можете, если наниматель согласится, что это нарушение. Если он не согласится - то расторгнуть контракт можно ТОЛЬКО по решению суда. А до получения данного решения - обязаны ходить на работу. Иначе увольнение по п.5 ст.42 - прогул

Либо наниматель соглашается, либо работаете до 19го

В принципе наниматель имеет такое право, НО! не обязан, если студент учится НЕ по направлению от нанимателя (сам договор не обязательно должен быть).

Вот реально уже мозоли на языке!

НЕ СУЩЕСТВУЕТ ПОНЯТИЯ СТАВКА И 0,5 СТАВКИ!!!!!!!!!!!!!! ПРОСТО НЕ СУЩЕСТВУЕТ!
Есть работа по совместительству, или с сокращенным рабочим днем (рабочей неделей).
Если я правильно понял весь описаный сумбур, то основная работа - сезонная, а рабочим по совместительству? или как?
Если именно так, то уволившись с основной работы - принимается на работу (которую выполнял по совместительству) как по основному месту работы с сокращенным рабочим днем (ст. 118 ТК).
В общем НИКАКОЙ проблемы НЕТ. Если бы не запутывали себя сами этими ставками-полставками, а руководствовались ТК.

В вашем вопросе много не корректных моментов. Позвоните мне +375 29 631 70 37 - разъясню ситуацию.