Трудовые отношения

При реальном сокращении штата - да, есть такое право

Могут. Отпуск с последующим увольнением предоставляется в пределах срока действия контракта и только по взаимному соглашению между работником и нанимателем

Да собственно два вариант - или ждать окончания контракта, или подавать нанимателю заявление о досрочном расторжении по ст. 41 и потом идти в суд.
Проще дождаться срока окончания контракта в августе.

Несколько непонятно по каким основаниям отказали в исчислении стажа. Существуют разные причины. некоторые можно опровергать/устанавливать через суд, а по некоторым - да. Бесполезно.

статья 41 ТК "невозможность исполнения трудовых обязанностей по уважительным причинам" имеет достаточно широкое толкование. Поэтому вопрос применения - это доказательства невозможности исполнять обязанности в соответствии с контрактом. Подходит-не подходит оценивает или наниматель или суд, если наниматель не смог оценить

Если вы не напишете заявления, то по факту вы будете числится до самого момента ликвидации предприятия. Напишите - уволят в тот же день. Вопрос выплат - сложнее, насколько у предприятия есть средства для первоочередных выплат.
Ну и при расторжении по п. 1 ст. 42 ТК в связи с ликвидацией вам надо обращаться в соцобеспечение, чтобы решить вопрос начисления и выплаты пособий.

Правила внутреннего распорядка устанавливаются нанимателем. Порядок обращения пропусков из этой же серии.
Посему ничего противозаконного не усматривается.

Нет. Чеки совсем из другой отрасли права. Подтверждение трудового стажа за период до 2003 года - трудовая книжка и справки от нанимателей.
при отсутствии нанимателей в связи с их ликвидацией - обращение в суд.

Увы, но согласно действующим нормам - контракт продлен и его досрочное расторжение в общем порядке

Да. Полное право

Ну если вы правильно оформили заявление, то вполне возможно что будет достаточно.
Однако, наниматель имеет право не принимать во внимание ваш переезд и тогда вам дорога в суд.

Увы, прямого запрета нет на не продление контракта.

При досрочном расторжении контракта по соглашению сторон нет конкретных сроков. Все по соглашению между работником и нанимателем 

Ну вы же как любой работник обязаны исполнять распоряжения нанимателя в пределах своих трудовых обязанностей. за исключением, когда данные обязанности либо не установлены трудовым договором, либо противопоказаны по состоянию здоровья.

Если никаких изменений в контракте не вносится, кроме срока действия, то собственно не обязательно в виде дополнений оформлять

Абсолютно точной градации "имеет право - не имеет право" наниматель, трудовое законодательство не содержит. Возможно вам в суде придется отстаивать свое право на расторжение трудового договора

Подписать с работником соглашение о продлении контракта и издать соответствующий приказ по кадрам

Конечно не только может, но и имеет полное право.
В отдел соцобеспечения пускай обращается - все разъяснят.
П.С. если конечно работал официально и взносы в ФСЗН наниматель оплачивал своевременно.

В зависимости от оснований. О продлении/НЕ продлении контракта - за 1 месяц.
По остальным основаниям - по разному.

Несколько непонятно.... Коллективный договор не орган для обращений. В общем непонятно для чего и
Смотря с каким вопросам у вас есть претензии. Если по спорам с нанимателем, то сразу в суд можно.
Правда не все споры с нанимателем рассматриваются судом. И это не зависит от наличия/отсутствия колдоговора