Наследство

   Вам надо обратиться к нотариусу по месту жительства матери, чтобы вступить в наследство после её смерти. Через 6 месяцев после смерти матери Вам (если есть другие наследники первой очереди, то и им) выдадут свидетельство о праве на наследство. Потом с этим свидетельством Вы сможете получить недополученную пенсию.

   Что значит "его дарственная квартира"? 
   PS:не забываем про знаки препинания!

    Что в Вашем понятии означает "прямые" наследники? Есть "не прямые"?.. Всё зависит от того, на кого сейчас оформлен дом. Выдавалось ли после смерти бабушки свидетельство о праве на наследство, приняли ли наследники первой очереди после смерти бабушки иное имущество, когда вы стали проживать в доме бабушки и т.д. Слишком много вопросов. Вам лучше обратиться за полноценной консультацией.

   Для того, чтобы ответить на Ваш вопрос, необходимо у Вас уточнить некоторые детали. Вам лучше обратиться за полноценной юридической консультацией.

    Не совсем понятно, а кто Вашему отцу "насчитал большую сумму" и за что конкретно ?  Отцу надо подать в суд исковое заявление, поскольку пропущен срок для принятия наследства. Собственно говоря, расходы-это госпошлина и оплата услуг адвоката (если он захочет, чтобы его интересы представлял адвокат).

   Вам надо обратиться с соответствующим заявлением в нотариальную контору по месту жительства отца. В любом случае, придётся приехать. Для начала можете пока по почте послать ПИСЬМЕННОЕ заявление.

   Ей необходимо в 6-месячный срок обратиться с заявлением в нотариальную контору по месту жительства дедушки.

    Если Вы участвовали в приватизации квартиры, то мама не могла завещать всю квартиру. Я бы посоветовал Вам приехать с документами на консультацию.

    Думаю, что "вторая жена" права. Более подробную консультацию можно было бы дать после ознакомления с документами.

   Дело в том, что раньше мать получила пенсию для отца (т.е. на основании доверенности действовала в его интересах). Теперь же неполученная пенсия является наследственным имуществом, на которую могут претендовать ВСЕ наследники. Наследство может быть принято в течение шести месяцев со дня открытия наследства.

И что именно вы хотите спросить? Задайте вопрос.

Дочь является наследником первой очереди. В данной очереди наследуют: дети (все, неважно, от какого брака), родители, супруг или супруга (настоящие, не бывшие). Данные лица наследую в равных долях, т.е. все зависит от количества наследников. Например, если у Вашего мужа только один ребенок, оба родителя и Вы (супруга), то получается, что в очереди четыре человека. Соответственно каждый наследует 1/4 всего наследуемого имущества.

Свидетельство о праве на наследство выдается по истечении 6 месяцев со дня открытия наследства. если нет споров о наследстве.
Вот после получения свидетельства наследник и вступает во владение имуществом

 Нет, увы. Не можете претендовать на увеличение доли. Если только кто-то из наследников добровольно вам отдаст

В порядке наследования - конечно, как наследник своей матери вы имеете право на получение наследства.
единственный вопрос - входит ли квартира/часть квартиры в состав наследства?

Безусловно! вы являетесь наследником первой очереди по праву представления - то есть вместо своей мамы.

Пока наследница не вступит в права наследства и не оформит право собственности на квартиру - абсолютно ничего не сделаете.
Если наследница не может/не хочет приехать, она может написать заявление о принятии наследства, выдать доверенность на принятие наследства и поверенный будет все оформлять.

Теоретически право оспаривать завещание есть у каждого заинтересованного лица.
А вот практически добится результата.... - большая проблема

Раз вы вступили в наследство (а вы приняли по факту его наследство), то и долги тоже. НО! Долги только в размере стоимости наследуемого имущества. В данном случае зарплаты. 

Когда оормите право на свою долю в наследстве можете делать что желаете - завещать, дарить, продавать и так далее