Как и в любом другом спорном правоотношении - никакого однозначного ответа/решения в вашей ситуации нет.
Договор найма, заключённый на период трудовых отношений, прекратился после Вашего увольнения в 2020 году. Поэтому наймодатель вправе требовать выселения Вас и проживающих с Вами лиц без предоставления другого жилья. Отсутствие иного жилья и регистрации само по себе выселению не препятствует. Регистрация по месту жительства также не создаёт самостоятельного права пользования квартирой (статьи 86, 114 Жилищного кодекса).